Programació i Evolució.

A la nostra vida hi ha moltes coses programades; algunes les programem nosaltres, els individus de la humanitat: tenim els programes polítics, els programes per a la construcció d’automòbils, el programa de vacances, els programes d’espectacles, els programes de cursos i titulacions a les universitats, etc..

Altres programes ja no depenen de nosaltres, sinó que determinen el funcionament del món, com poden ser les conseqüències de la ciència.

De fet pot haver-hi algú tan determinista que digui que tot ja està programat (recordem el “disseny intel·ligent”), i que per tant ja no tenim res a programar els humans: és una il·lusió. Algunes religions ja s’hi acosten a aquesta visió: hi ha un ser omnipotent que ho decideix tot. I sigui com sigui, tot i acceptant la física determinista, ja em costa, ja, dir que jo no decideixo res.

Entre els primers programes, els que fem nosaltres, hi ha el funcionament dels ordinadors, en que el que passa està determinat per un programa de manera lògica i determinada. Entre els segons ens trobem amb els processos evolutius en el que els canvis i la supervivència juguen un paper. D’entre aquests processos vull destacar l’evolució biològica, la configuració del cervell i el funcionament de la societat.

Els ordinadors

De quina manera està determinada l’operació d’un ordinador? L’ordinador en l’arquitectura de Von Neumann té una unitat de control, una unitat aritmètica , una memòria, un mecanisme d’entrada i un mecanisme de sortida. Nosaltres hi introduïm les dades en forma de tirallongues de zeros i uns, que vol dir voltatge o no voltatge a l’entrada de les comportes lògiques, i els diferents elements de la màquina les processen, segons siguin instruccions o dades, i envien els resultats a la sortida. Tot això ho fan de manera sincronitzada (per un rellotge).

Les comportes lògiques, que són bàsicament transistors i ara estan encabits en xips, poden, com el nom indica, efectuar totes les operacions de la nostra lògica formal, i les operacions aritmètiques.

Una comporta digital té dues entrades, A i B, que poden rebre o no un voltatge. El voltatge representa l’1 i la seva manca el 0. D’aquesta manera tenim 4 possibles entrades, corresponents als números binaris de dos dígits. La comporta també té una sortida que pot ser 1 o 0 (voltatge o no voltatge, depenent de la construcció de la comporta i de l’entrada. Tenim així 16 possibilitats, corresponents als números binaris de 4 dígits: un per a cada possibilitat de senyal d’entrada a la comporta.

Cada una d’aquestes 16 possibilitats correspon a una funció de la lògica proposicional.

Així, tenim les següents correspondències entre entrades i sortides, el significat en lògica proposicional i els noms d’algunes de les comportes.

Entrades

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Sortides Significat Nom de la comporta

0 0 0 0 Contradicció, sempre és fals

0 0 0 1 A si i sols si B AND

0 0 1 0 A no implica B

0 0 1 1 A

0 1 0 0 A no és implicat per B

0 1 0 1 B

0 1 1 0 Cert si i sols si A no és igual a B XOR

0 1 1 1 Cert si i sols si A, B, o A i B són certs OR

1 0 0 0 Cert si i sols si ni A ni B són certs NOR

1 0 0 1 Cert si i sols si A és igual a B XNOR

1 0 1 0 Cert si i sols si B és fals

1 0 1 1 B implica A

1 1 0 0 Cert si i sols si A és fals

1 1 0 1 A implica B

1 1 1 0 A i B no són certs els dos NAND

1 1 1 1 Tautologia, sempre és cert

No deixa de ser curiós que la lògica que tenim al cap es correspongui amb les setze funcions de la lògica proposicional que poden realitzar les comportes d’un ordinador.

A partir d’aquestes comportes (de fet n’hi ha prou amb el NAND, el “Sheffer stroke” o amb el NOR), es poden programar totes les accions d’un ordinador digital

Per exemple, amb dues comportes NOR, dues AND i una OR es pot fer l’addició de dos dígits, i posant aquests circuits en cascada es pot fer qualsevol suma, i a partir d’aquí qualsevol operació aritmètica.

La matemàtica deductiva, la dels teoremes i les demostracions, s’assembla força a un programa d’ordinador: està programada. A partir d’uns axiomes (o postulats) anem deduint proposicions d’acord amb les regles de la lògica proposicional. Tot i això, a la lògica proposicional basada en uns axiomes, hi hauran proposicions que no es podran deduir mitjançant una cadena lògica a partir dels axiomes inicials, tot i sent vertaderes (Gödel).

Per altra banda pensem que no totes les operacions en matemàtiques es poden reduir a un fórmula; per exemple trobar l’arrel cinquena d’un número o bé trobar les arrels d’una equació de 5è grau, encara que si que ho podem fer per aproximacions successives d’una manera tan aproximada com vulguem.

Molts processos estan programats o són programables, encara que el programa no es realitza d’una manera precisa degut a intervencions externes. De fet els mateixos ordinadors experimenten canvis no programats degut a pertorbacions del seu sistema. Per exemple els processos tecnològics, com pot ser la producció industrial estan programats i els resultats no s’aparten gaire del que s’ha planejat.

La reproducció dels sers vius

El DNA conté un programa que permet que les característiques dels descendents estiguin determinades pels genomes dels seus progenitors. No sabem gaire encara com funciona aquest programa. El desenvolupament embrionari, la morfogènesi dels sers vius, és com el muntatge d’un puzle on les peces són les proteïnes que es van sintetitzant sota la direcció del genoma. La veritat però és que no és gaire precís. Tot i això els fills s`’assemblen als seus pares i hi ha bessons quasi indistingibles.

Hi ha diversos intents d’explicar con es porta a terme la morfogènesi dels sers vius a partir del genoma . No és gens senzill, i tot i que hi ha milers de científics intentant-ho i obtenint bons resultats, encara falta molt per a tenir-ho prou clar.

Alan Turing, a més d’inventar la seva màquina universal, l’abstracció del nostre ordinador, també va proposar un model matemàtic per a explicar un tipus de morfogènesi. El model matemàtic és el de les equacions de reacció i difusió que tenen en compte la distribució de densitats dels diferents reactants. Per una banda els canvis de concentració dels reactants es deuen a les reaccions químiques entre ells, i per l’altre a la seva difusió dins del reactor.

Aquestes equacions poden tenir solucions d’equilibri, és a dir que son constants en l’espai i el temps. És a dir, que les concentracions són estacionàries i homogènies. Ara bé, aquest equilibri pot ser inestable i que una petita modificació del valors de les concentracions les facin tendir a distribucions diferents. De fet si tenim unes concentracions constants a l’espai i el temps i estables, al modificar algun paràmetre de l’equació, podem desestabilitzar-les, i la solució pot tendir a un altre equilibri estable, però no homogeni. Això està a la base de la morfogènesi que estudiava l’Alan Turing.

Passa però que és un model vàlid per a reaccions químiques en un recipient, però que no serveix per a la divisió cel·lular, que està a la base del desenvolupament morfogenètic dels sers vius. En aquesta hi han massa elements, diguem-ne, mecànics.

L’evolució darwiniana

La mutació i selecció natural (és a dir, ecològica) és la responsable de la diversitat dels sers vius. Si el que es reprodueix, és a dir, es replica, i si la successió ininterrompuda de rèpliques no és necessàriament precisa, hi ha evolució. L’evolució dels sers vius es caracteritza per la mutació genòmica i per tant els canvis en el fenotip. Els organismes han de poder sobreviure amb els recursos a l’abast fins a la reproducció, d’altre manera es queda sense descendència. Els recursos són generalment escassos pel creixement de totes les poblacions de sers vius que, per altre banda, si no fos així creixerien exponencialment (Malthus). Algunes de les mutacions poden donar avantatges per a l’aprofitament dels recursos, el que va en contra dels que no les han sofertes (o disfrutat?), que poden arribar a desaparèixer.

El organismes que aconsegueixen reproduir-se més són els que tindran les seves característiques transmeses a la seva progènie i disminuiran els recursos per als altres. Amb aquest procés s’han anat diversificant els organismes vius, i han sobreviscut aquells que han adquirit, per un seguit de mutacions l’avantatge competitiu per als recursos. Com a resultat d’aquest procés hem aparegut nosaltres.

Els organismes vius van aparèixer fa uns 3500 milions d’anys, és a dir no gaire més tard de que la Terra fos formada. Al principi els organismes vius eren procariòtics, és a dir, cèl·lules sense nucli i més tard, per simbiosi, van aparèixer els eucariòtids i amb ells els pluricel·lulars, al mateix temps que l’atmosfera s’enriquia d’oxigen gràcies a alguns d’aquests organismes. En particular va aparèixer la simetria dreta esquerra dels animals i la disposició en segments, que han facilitat la reproducció dels gens hox. Hi ha qui diu que la urbilatèria, organisme teòric que tipifica l’aparició de la simetria bilateral, de farà uns 550 milions d’anys és la progenitora de pràcticament tots els animals! Es va produir una vertadera explosió de tipologies animals, coneguda com l’explosió del Càmbric. A les “Burgess Shales” al Canadà es troba un registre fòssil d’una enorme diversificació, de la descendència d’aquests organismes en relativament poc temps.

V

Com fer-s’ho per a modelar l’evolució? O d’altre manera: Com funciona l’evolució? En un model en que el món funcionés determinísticament i coneguéssim les mutacions possibles i quin efecte tenen en el món ecològic, és a dir per a la supervivència de la població en la competència per a aprofitar els recursos, podríem determinar quin seria el seu esdevenidor. Però si admetem que algun element en el sistema pot prendre decisions no programades (les espècies transgèniques inventades per l’home, per exemple) els canvis són impredictibles, i fa impossible a la pràctica el pronosticar l’evolució de la població, de manera que per a retratar amb un model matemàtic el mecanisme evolutiu hem de fer una simplificació que no ens permet fer prediccions (és més complicat que la meteorologia!), encara que ens fa un esquema racional de com funciona.

La complicació del mecanisme evolutiu és enorme i voler-ne fer un model matemàtic precís és massa ambiciós; però la matemàtica pot fer-ne models simples que permetin entendre com funciona el procés d’una manera una mica més precisa que anant movent les mans. Per a fer possible el seu tractament matemàtic (fins a poder posar les equacions en un programa d’ordinador!), considerem poblacions homogènies excepte per alguns trets (en diem evolutius), que experimenten canvis hereditaris, mutacions. Com que en general no sabem quins són aquests canvis; de fet , ni quins poden ser; donem una certa probabilitat (la nostra arma contra el desconeixement dels detalls). I llavors establim els sistema d’equacions diferencials, generalment amb derivades parcials, termes integrals i fins i tot amb retard en el temps degut a processos que necessiten un temps per a manifestar-se, equacions que ens diuen cap on evoluciona el sistema ecològic que estem estudiant: quines poblacions amb quins trets sobreviuran i quines s’extingiran.

En una modelització matemàtica del procés evolutiu d’una població hi veiem els següents factors, que poden dependre tots ells de les característiques mutables que estem considerant, dels recursos de subsistència i també d’altres poblacions, ja sigui per competència pels recursos o perquè els destrueixin directament.

- Un terme que retrati la fertilitat dels individus, és a dir quants individus neixen de cada individu per unitat de temps,

- Un terme que retrati les defuncions

- Un terme que retrati les mutacions

- Un terme que retrati la competència (disminuint la fertilitat, augmentant la mortalitat)

- Un terme que retrati la depredació

Certament, si es té en compte més d’una població o més d’una característica les equacions es compliquen. Per exemple això passaria si aparegués una nova característica genètica rellevant per una mutació puntual que canviés radicalment les equacions o afegint-ne una altra.

El problema d’aquest mètode és que en la pràctica es fa pràcticament impossible conèixer les possibles mutacions i les seves probabilitats i com influeix el medi en el procés.

No podem admetre-hi massa actors, ni podem tenir en compte com influeix, en detall, el medi en el procés. I per descomptat no sabem quines són les possibles mutacions ni què faran., fins i tot si ens referim a una sola característica numèrica, de la qual no sabem gaire bé quina probabilitat té de modificar-se ni cap a on pot fer-ho.

En fi que aquests models no serveixen per a predir, sinó per a fer un retrat de com funcionen les mutacions més senzilles. Hi han exemples de control de bacteris amb virus en els que les mutacions són simples i es poden extreure resultats del model matemàtic.

Però, vaja, al menys tenim un exemple de com funciona un procés evolutiu, i de com fa possible que s’imposin característiques mutades, i això mentre hi hagi vida. I tenim també un mecanisme que correspon a la nostre experiència viscuda, de com no cal que es tingui un programa per tal de que la vida rutlli. No cal un gran programador; al menys sembla que no calgui.

El cervell i la ment

I pel mateix sistema ens trobem que la formació del cervell entra en el programa morfogenètic, i així és en gran part: tenim instints i gustos heretats genèticament, però el programa no es compleix estrictament, podríem dir que condiciona el cervell per a la seva evolució. El mecanisme evolutiu no només funciona a l’ecologia: també a la ment funciona. De fet combinada amb l’evolució ecològica. Sembla clar que una ment més capaç i uns valors més adaptats a la vida en societat i a la reproducció, ajuda a la supervivència dels individus, i que és la ment de l’homo sapiens la que ha prevalgut sobre tots els primats que han quedat eliminats al seu darrera..

Però no és això al que em vull referir ara, sinó a l’evolució del cervell de cada home mentre es desenvolupa: les experiències s’entrellacen amb el mecanisme del cervell, modificant-lo. I d’aquests canvis a la xarxa neuronal s’imposen els que funcionen millor, més apropiadament. Segons l’Edelman el mecanisme darwinià va conformant el cervell i el pensament que n’emergeix. El cervell va formant la seva xarxa neuronal d’acord amb l’experiència a la que està subjecte, i va evolucionant de manera d’adaptar-se al món que el volta. Va obtenint els seus valors, els seus coneixements, el seu llenguatge, i com no, les seves manies.

De fet, la raó, el pensament lògic, és el producte de l’evolució del cervell, de la ment, adaptant-se a l’experiència del món, que té una lògica inherent. El llenguatge, l’enraonar, és un producte d’aquesta evolució que posa en evidència l’ús de la lògica i ens ajuda a raonar i a retratar i entendre el món. I també a comunicar-nos i permetre que la societat sigui un objecte cohesionat, gairebé com un ser viu pensant.

L’evolució de la humanitat passa per episodis que van donant avantatge als qui tenen millors sentits, millors reflexos, més força, més velocitat, més intel·ligència, més vanitat, més ambició, més parla, més coneixement. En quin ordre van apareixent i avançant aquestes traces és objecte d’estudi pels antropòlegs. És prou clar, però, que l’enraonar, la parla, és un dels factors més importants: facilita la comunicació i el pensament. Possiblement el llenguatge no va aparèixer , amb la seva estructura actual, fins fa alguna desena de milers d’anys, però ha fet avançar l’home i el seu cervell d’una manera explosiva.

Curiosament l’Alan Turing es va ocupar de dos dels problemes que hem esmentat: un el de la morfogènesi, que volia tractar com si es degués a l’equilibri en reaccions químiques en un reactor, que serien els cossos o les cèl·lules en creixement, procés que retratava amb equacions de reacció i difusió, i l’altre el del funcionament lògic del cervell, que va culminar en la seva màquina de Turing, l’ordinador, programable. Avui sabem que els dos processos, el morfogenètic i el raonament lògic són quasi programables, però no del tot. El que a mi em resulta sorprenent és que no sent el funcionament del cervell programat, sigui capaç de raonament lògic, de construir la matemàtica i en general de tenir una màquina de Turing completa immersa en ell. Però el cervell no és una màquina de Turing. De vegades ens equivoquem! El seu funcionament és degut en part a la seva constitució morfogenètica, però també a la seva adaptació al que l’envolta.

Queda per explicar la consciència, la d’un mateix en particular, i també el lliure albiri: com és que podem escollir i modificar el món amb la nostra voluntat, en contra del determinisme físic que la ciència accepta?

Hi ha experiments que mostren que algunes accions es porten a terme abans de que les decidim conscientment. Què vol dir això?

En quin moment de l’evolució apareixen la consciència i l’albiri?

La societat

I la societat (humana o no), va heretant la manera de fer que preval en el seu medi, una herència cultural que es va modificant amb els avatars de l’existència. Per exemple les llengües, les religions, la moda...

Hi ha una programació de la societat? Per una banda tenim l’herència biològica, els diferents tipus humans, la seva variabilitat. Per l’altra banda tenim l’herència cultural, imprecisa i multivariada: no és només al cervell de les persones, sinó en els testimonis literaris, artístics, científics, històrics, etc.

Per una altra tenim la natura: el clima, la flora, la fauna, etc., de la que depenen els recursos, i per tant el comportament social. També tenim els grans canvis; la revolució industrial amb les seves conseqüències.

I tenim la competència pels recursos. Les guerres, les migracions, les fams.

Tenim però un factor estabilitzador: la imitació. Per una banda el cervell es conforma segons el que experimenta; en particular amb el que experimenta dels demés humans: llenguatge, creences, coneixements... Degut a la nostre limitació per a entendre algunes coses i a la necessitat de conformar el nostre coneixement, acceptem coses per adscripció: les religions, les modes, els gustos, el sistema educatiu, les tendències polítiques, les medicines alternatives etc..

Els partits polítics, els comerciants, els indoctrinadors, s’escarrassen per a programar-nos el cervell i que ens apuntem al seu carro. No els costa gaire: de fet la propaganda és una de les eines més efectives per a fer anar la societat. I què dir de les medicines alternatives, la pseudociència, l’astrologia i les religions per exemple.

És interessant mirar com les pel·lícules d’èxit es van assemblant les unes amb les altres per tal de respondre al gust dels espectadors: automòbils rabent, escenes sexuals, perills increïbles. I moltes, gairebé totes les vegades, sense cap respecte al coneixement.

El món

El món és com és i nosaltres hi som inserits. Sembla que es mou, que evoluciona i amb ell nosaltres. On acabarem, si acabem? I qui som “nosaltres”? Certament tenim la nostra pròpia manera de veure el món. Potser el temps i l’espai és la nostra particular manera de ser-hi. A la mecànica quàntica sembla que les “partícules” no són com nosaltres.

La darrera pregunta que ens podem fer és: de què es tracta tot plegat?

L’ànima de la paradoxa (o la paradoxa de l’ànima)

I aquí ens trobem amb un problema que no sé resoldre. Per una banda la matemàtica i la física ens diuen que els processos estan determinats, i que és només deguda a la complexitat d’alguns processos que hem d’admetre la probabilitat, com en la termodinàmica i en l’economia. És clar, estic suposant que els processos de la física quàntica estan determinats, i que la incertesa de Heisenberg és només deguda a això que en diem observació, i que no sabem ben bé què és. I també estic suposant que no hi ha més factors que els de la física en el funcionament del món. La probabilitat surt, com ja hem dit, del nostre desconeixement dels detalls en situacions complexes. Bé doncs, si és així, tot està determinat encara que no sabem com: tal com diuen les religions que tenen un Déu totpoderós que ja ho ha determinat tot (però que ens diuen que ens portem bé!). Però és una mica contrari a la nostra evidència el que no puguem escollir, el suposar que tot el que fem, pensem o desitgem ja està determinat! I que així és amb tot el funcionament del món. Llavors els processos evolutius amb tot el seu mecanisme son una il·lusió? Costa admetre-ho. M’estimo més pensar que hi ha quelcom que la física encara no ha explicat i que permet que certs mecanismes puguin alterar el món, i que les coses puguin evolucionar d’acord amb aquest factor de llibertat que em sembla indispensable. I que conté a més a més la idea de la consciència i de la consciència individual, sense la qual no hi hauria decisions ni llibertat.

Potser amb el cervell l’home està entrant al cor de la paradoxa: L’entendre’s un mateix. És com els miralls paral·lels, que reflexen el reflexat fins a l’infinit.

El paper de la matemàtica

Ens podem referir a dos escenaris: la matemàtica al món i la matemàtica al cervell.

Per una banda la matemàtica tracta de les propietats de quantitat, ordre, mesura, etc. que ens serveixen per a retratar el món. Ho fan d’una manera lògica; potser perquè el món és lògic i la matemàtica el retrata prou bé.

La matemàtica es forma al cervell d’una manera semblant a com ho fa el llenguatge: el cervell es va modificant evolutivament de manera de fixar conceptes i relacions de la manera més convenient per a poder tractar de quantitats, ordre, mesura, música, valors, llengües, filosofia, etc..

La matemàtica evoluciona en dos escenaris: el personal i el social.

En el social evoluciona per una banda com les arts, per l’estètica de l’harmonia, i per l’altre per la seva capacitat de retratar alguns aspectes del món i del seu funcionament, que fan que evolucioni ensems amb la ciència i la tècnica.

Els Elements d'Euclides

No ho he vist escrit ni ho he sentit dir que els Elements (Stoiheia) d'Euclides no són només un manual de geometria ni un desenvolupament del mètode rigorós de demostració matemàtica. Certament ho són, però això només és el mètode, que certament conté un missatge, però el missatge pregon, l'objectiu de tot plegat, és mostrar l'harmonia dels elements que constitueixen el nostre món físic.

Plató, en la seva obra pòstuma, el Timeo, va establir que el món que observem està format pels cinc elements, foc, aire, aigua, terra i cosmos, els quals estan constituïts respectivament per tetraedres, octaedres, icosaedres, cubs i dodecaedres, els únics cinc poliedres regulars. Va fer notar que si s'escalfa prou l'aigua, els icosaedres que la formen es disgreguen, i que les seves cares, triangles equilàters, es tornen a ajuntar formant octaedres, aire. I si 'escalfa prou l'aire, les cares dels seus octaedres es separen i es tornen a ajuntar per a formar tetraedres: foc. La terra i el cosmos no canvien tan fàcilment.

Els tretze llibre dels Elements mostren com es poden construir racionalment els cinc poliedres, i mostra les relacions, diguem-ne harmonioses, entre els seus elements geomètrics. Resulta doncs que els Elements és una obra de matemàtica aplicada a mostrar l'harmonia del món.

Mathematics and biology, my story

The interest for both biology and mathematics came to me from my teachers, my readings and my friends. When I was 6 I moved with my family, first to France (till 10) and then to Mexico. In the primary school my teacher Gallo showed me the Pythagoras theorem and a cross section ob the spinal chord. Both things did dazzle me. In my secondary studies the professors Ramirez and Navarro opened the curtains of botanics and zoology. For some years I was a passionate collector of insects with Gonzalo Halfter and other companions: the shapes and colors of some insects show more esthetic value that the works of Gaudi, Picasso, Dali, and Miró. You only have to look at a Cayena Arlequin (Acrocinus Longimanus) or at some Phaneus beetle. On the other direction, Ricardo Vinós and Marcel Santaló awakened on me the interest in mathematics and physics. (1939-1955).

In spite of such interests, I chose to study electrical and mechanical engineering, owing to a kind of familiar legend, but at the end of the first year my friend “Quico” Tomas encouraged me to study also the career of mathematics. While I was studying I met August
Pi- Sunyer, the grandfather of my girl-friend at the time, who was a specialist in neurophysiology and lived in Venezuela (as my family we were refugees of the Spanish civil war) He had published s book where I saw for the first time the drawings of the neural tissue on the brain cortex. Captivating. In finishing the undergraduate studies of mathematics, Professor Solomon Lefschetz of Princeton University offered me to go to his university for my doctorate (in topology!). I declined saying that I preferred finishing my engineering studies and dirtying a little bit my hands, and so I did for seven years working on the erection of thermo electrical power plants. While I was working as an engineer I kept going to the university, both lecturing and attending doctoral courses. One of these courses with Professor Martone taught me what the innards of a digital computer were: the logical gates, the flip flops, and the whole von Neumann architecture with its arithmetic unit, its control unit and its memory. The course interested me so much that I started reading papers on control and automatics. In the Automata Studies of Princeton I found a paper by von Neumann that dealt with logical circuits, with faulty gates (as long as they were more than fifty per cent reliable), which could be made, through redundancy, as precise as the brain of a mathematician!
Of course all this was building up in my mind a very foggy idea of how the brain works. (1956-1962).

My job as an engineer ended when the Construction Department of the Mexican Light and Power Company (the Mexican branch of the company that had been responsible of the electrification of Catalonia, the “Canadenca”), where I worked, was suppressed at the nationalization of the company. I went looking for a job at the Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados whose director was Arturo Rosenblueth, who worked with Walter Cannon on chemical transmission along nervous elements and wrote with Norbert Wiener and Julian Bigelow “Behaviour, purpose and teleology” and of whom it is said that suggested the name “Cybernetics” for Wiener’s book. Rosenblueth had dealt with nervous impulse transmisions, synaptic transmissions, the control of blood circulation and the physiology of brain cortex. When I exposed to him my interest to work on something you would nowadays qualify as neural systems, Rosenblueth said he would give me a job if I obtained a doctorate.

I went back to Professor Lefschetz, who was no more at Princeton: he had been appointed the direction of the mathematical department of RIAS, the Research Institute for Advanced Studies that the Martin Co. had created in Baltimore. The institute was part of the effort of the USA to not be left behind the Soviet Union in the conquest of the extraterrestrial space. Lefschetz was no more in topology, but in the qualitative theory of differential equations. He gave me a place at RIAS to work in what had to be my thesis. At the beginning I had the idea of working with Rudy Kalman in control theory: observability and controllability, but there all was linear, so I found my place with Jack Hale who worked on differential equations with time lag, following the path of Krasnoselsky, Shimanov, and other Russian mathematicians. I suppose the interest in time lag obeys to the fact the signals to and from outer space take some time. As a matter of fact that happened also with the control by compressed air in the steam boilers in the power plants I had been helping to build. Of course nowadays compressed air is not used for control of boilers anymore!

I wrote my thesis, I got a doctorate on applied mathematics from Brown University and I went back to Mexico. There, good at his word, Rosenblueth gave me a research job at the CIEA. There I didn’t make good my expressed interest for neural systems, in spite of the fact that there were people studying them (but not with mathematical models). I remember watching the electrical spikes travelling along the axons of the neurons in the brain of a cat (which reminds me that Rosenblueth, had said, referring to the complexity and variability of living systems something like “the best model of a cat is a cat, especially the same cat!”). I didn’t keep a long time working at delay equations; instead I was captivated by the dynamical systems of Stephen Smale and his school, with their topology, their strange attractors and their chaos. Later I got into area preserving mappings, (where I lost the opportunity of publishing a paper because I wasn’t fast enough and someone advanced me in the publication of the results) and Hamiltonian systems, with their Arnold tori, the series with small divisors and the strong implicit functions theorems of John F. Nash and Jacob T. Schwartz. (1962-1972).

I came back to Catalonia 34 years after having left it, to the UAB, carrying with me my working themes. Eventually, at this seminar we dealt with population dynamics (Calsina, Saldaña, Aldama, Madrid...), the uncoupling of the slow and fast dynamics, which I named “dynamical dynamics”, i.e. metabolism against growth (Bonet). Around 1977 Xavier Mora presented us with the paper of L.A.Segel on the acrasial amoebae (slime moulds), unicellular individuals which group in the shape of hexagonal tiles on the horizontal support, and grow a vertical talus which develop a capsule at its extremity that fills up with the spores for new individuals. Segel included in the paper the reaction and diffusion equations proposed by Alan Turing to explain morphogenetic phenomena. These equations admit a spatially constant solution that may become unstable with the change of the parameter. I studied for some time the mathematical aspects of the bifurcation: the values of the parameter for the losing of stability of the homogeneous constant solution and the shape of the bifurcating new equilibria.

In a book by J.D.Murray on nonlinear differential equations in biology, the reaction and diffusion equations are used to explain the dots and stripes in the animal skins and a prey-predator system in a one dimensional region. The same kind of equations were used by Nicolis and Prigogine and by Gierer and Meinhardt to explain self-organizing phenomena in biology, in social systems and even in the evolution of consciousness.

For years I was thinking in reaction and diffusion equations as the mechanism to model the division of the fertilized ovules. As a matter of fact it could have been any cell, but I spoke always of the egg! I considered it as a vessel with different reacting substances in a liquid medium (water?), whose concentrations would obey the equations. The unstabilizing parameter would be the size of the egg that was supposed growing (in spite of the fact that I was supposing a Newmann condition at the border!); at some critical size a bifurcation would ensue concentrating the substances in the so called “poles” of the cell, according to the eigenfunctions of the Laplace operator in a first approximation, promoting its division. The mathematics was (and is) simple and exciting. What a pity that the whole conception was utterly wrong! In a meeting in Lisbon, when I spoke to Dan Henry about my view, he told me that cell division was more mechanical than a question of continuous media. I didn’t hear him, or was it that I didn’t want to hear him?

Quite recently a book fell in my hands that dealt with biological morphogenesis. I was quite sceptical, thinking that the author was not acquainted with Turing’s conception. But no, he was quite acquainted and he mentioned that Turing’s scheme had not explained any single morphogenetic event in biology. And then I remembered my lessons of biology at the secondary school. I remembered the Golgi system with its microtubules, the chromosomes, and more impressively, the genome. What a different landscape! Transported by the magic carpet of mathematics I had overlooked what is obvious: That the cell is not a chemical reactor, but rather a complicated system where the proteins that are being synthesized thanks to the genome constitute the building elements of the structure of the body. Have you heard about tensegrity, or about the protein engines?

So, it is quite recently that I corrected (I hope) my view. Even the segmentation of the body is produced, not by reaction and diffusion, but through the Hox genes, for instance. Murray explained the marks in the skin of leopards with reaction and diffusion; I doubt you can treat the skin of a leopard as a chemical reactor. I had had some lack of respect for treating these formations of stains on the skin as the result of a molecular (or cell) automaton. Now I wouldn’t laugh at it.

Around 1989, we dealt with ecological population dynamics (natural selection) plus mutation, that is, Darwinian evolution. In the model a population with the same genetic pool was considered and the mutation of some hereditary characteristics was modelled as a diffusion of some of these characteristics. The selection term came from the ecological medium where the characteristic was relevant for the survival of the population.

In different models we could have an internal competition for the resources within the same population or we could consider a competition for resources among different populations, and also some pray predator interactions. With Calsina we worked on this; there are theorems on existence and uniqueness as well as on the existence of fixed points and their stability and on the asymptotic behaviour of solutions. Everything expressed in the frame of semi linear parabolic systems with non negative solutions.

The model on which we wrote a paper had some shortcomings: if a mutation appeared in one individual its effect on the rest of the population was instantaneous. Moreover the mutations were commanded by the Laplacian operator and they couldn’t admit other distributions. In the thesis of Manuel Sanchón (2003) we corrected these shortcomings putting an integral operator instead of the Laplacian and admitting a time lag to take into account a maturation age, that is, the time elapsed between birth and reproduction on the same individual.

Of this model we obtained theorems of existence, uniqueness, continuity and continuation for all time. We could find the equilibrium points, study their stability and the asymptotic behavior of solutions. With Angel Calsina and Manuel Sanchon we worked on it and we wrote a paper which was not accepted for publication in the journal where we sent it (!). May be we shall send it somewhere else, but time goes by….

We did not occupy ourselves on the special (geographical) distribution of the populations, which sounds very interesting to me. Anyhow, something will be said by someone, some time, on the subject. Now Calsina and his collaborators are modeling the control of bacterial infections with mutating viruses: a useful accomplishment.

In recent time the development of the whole cellular system begins to be understood; and the first that has been understood is that it is very complex: from the workings of the genoma to the protein engines, from the microtubules to tensegrity, from the “hox” genes to the segmentation of the body of the phenotype, everything is under scrutiny. There are millions of entrances through Google on these subjects.

What I have not found is much mathematics, at least not the mathematics that explains and models the observed phenomena; and hence neither the numerical simulations. Everything is so complex! Probability and statistics may show regularities of formation or behaviour, but not how things work. Things are so precise! Descendants resemble their parents and may be almost identical at a first glance in the case of twins from the same ovule. Some more generations of scientists and mathematicians will be required.

Alan Turing besides introducing the reaction and diffusion equations in order to explain the morphogenetic processes was also interested in the working of the brain, and as a result he invented the Turing machine, the grandfather of our computers.

On the neural system and the mind a lot has been studied and a lot has been written, mainly lately. There are models of the brain, or parts of it, that consider it a sort of neural system, and there are studies on the transmission of signals along the axons (Hodgkin-Huxley, Fitz Hugh-Nagumo), and the ionic channels on the neurons. As a matter of fact there are all kinds of studies on the neural system and its function;

If one looks at Google for Computational Neuroscience or Computational Intelligence one is snowed from the amount of contributions. Some mathematics is used on all this studies in the shape, mainly, of differential equations that portray the electrical activity of the neurons and their connections. For instance the Blue brain project is studying the workings of columns of neurons with the unavoidable help of the IBM Blue Gene Supercomputer (may be they would need a HAL!). Close to us we have the Computational Neurosciences Group that has organised meetings in 2005, 2007 and this year, I gather.

What is still lacking is an understanding of thought; and I am not referring only to how the electrical spikes travel along the axons or what are the voltage or chemical changes in the neuron, or how the synapses work; but to what is the mechanism of thought. Or how does our memory work, or how concepts and words are handled, or just thinking, reasoning or what is consciousness, and more enigmatically, what is self-consciousness or what is the process of taking decisions. There is not a lack of thinkers that have looked for answers to these questions. Roger Penrose thought that the secret of consciousness had to be looked for in the microtubules of the neurons and the gravitons. Crick looked for it in the synchronized action of columns of neurons. Gerald Edelman tries an explanation through the changes that the brain suffers in its evolution, through experience, modifying synapses for instance, and creating configurations that respond to concepts, may be associated to words (qualia), and also to instructions, syllogisms, recipes. And also could produce some drug, prize or punishment for some action, and hence creating values. Consciousness would be this set of brain charts with which we “see” the world, including ourselves.

Edelman looks at the formation of the brain along the ages and to the development of the brain in each individual as a Darwinian process, that is, changes which favour survival are adopted. In any case Edelman doesn’t look the human brain as a digital computer with von Neumann architecture. The brain is evolving with experience, and not all are electrical impulses.

Certainly in the lectures that will follow we are going to hear a lot about these subjects. And may be we shall hear about circuitry that incorporates the nemristor of Leon Chua, a resistor that remembers the current that has gone through it by changing its resistance, and which some think that it could be incorporated to circuits that emulate some workings of the brain. HP is working on it.

How can we cut through such complexity? Well, as usual, with time, interest, work and serendipity, and then, mathematics; although not everything has to be reduced to equations and numerical methods! Mathematics and science evolve together (like fashion) in a sort of Darwinian process: which has been shown by history to be quite effective.